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波动率微笑曲线与期权定价模型

2011年4月中国银行间外汇市场推出人民币对外汇期权交易,随着人民币汇率双边波动渐成常态,企业及金融机构对期权业务的需求日益提高,同时也对期权定价提出了更高的要求。
本文将简要介绍几个常用的期权定价模型。

在市场业务发展对期权定价提出更高要求的背景下,就常用的期权定价模型,包括无风险利率与波动率为常数假设下的Black-Scholes模型、随机波动率假设下的Vanna-Volga模型和SABR模型,文章简要介绍了其模型特征、模型隐含的市场策略构建和模型的现实适用情况。

1Black-Scholes 模型

在各类期权定价模型中,最经典的期权定价模型莫过于Black-Scholes模型,Garman和Kohlhagen(1983)将其扩展至外汇市场。

BS模型将期权标的资产视作随机过程,而将无风险利率与波动率视作常数,假设外汇即期汇率图片遵循几何布朗运动,即满足随机微分方程(SDE):图片, 其中图片和图片分别为本币和外币的无风险利率,图片为图片的波动率,均为常数,图片为布朗运动。使用伊藤引理可推导期权价格图片的一阶差分方程。

用期权和外币债券图片构建自融资( self-financing)组合,图片为本币资产,该组期望回报等于本币无风险利率图片, 经数学处理, 可将期权SDE , 或BS SDE 简化为:图片。

风险中性测度下该SDE的解为期权到期回报的期望值图片。利用不同期权到期时的边界条件可求出该期权的解析价格。

2随机波动率模型

BS模型因其简洁易用成为外汇欧式简单期权广泛采用的定价模型。对部分奇异期权,BS模型也能提供解析解。但是该模型的限制条件极为严苛,波动率和利率均为常数的假设与实际金融市场情况相去甚远。

真实即期汇率的收益并不遵循正态分布,尾部风险比正态分布描述得更多。事实上,出于对极端情况的对冲目的,客户和交易员更倾向于购买深度价外的期权,因而同一期限的波动率曲线传统上被称为微笑曲线(volatility smile),尽管并不总是微笑形态。

对某一期限,波动率可以表达为行权价的函数图片。对于短期期权,波动率的随机性比利率的影响更为突出。许多模型被用来描述随机波动率。

Vanna-Volga模型

将BS模型的框架扩展到波动率为随机变量的条件下。利用伊藤引理对期权进行二阶展开,有图片

BS模型推导过程中,仅即期价格为随机变量,因而构建包含即期的策略图片,用图片动态对冲即期风险。

波动率为随机变量时,需对冲二阶以内的波动率相关风险。Vanna-Volga方法仅用少量市场上流动性最好的产品构建对冲策略,用来对冲期权的Vega、Vanna和Volga。

这三个敏感性指标是波动率的主要风险, 图片是期权价格对波动率的敏感性,图片是期权Vega对即期的敏感性,图片是期权Vega对波动率的敏感性。

因而VV方法可以视作考虑了波动率微笑的模型。

对同一期限任意行权价为K的期权图片,用外币债券图片和图片构建自融资组合图片

由伊藤引理可以得到:

选取适当的图片和图片可消除随机项,如对简单欧式期权C,图片有唯一解:

其中图片为行权价为K的简单欧式期权的vega值。

期权的VV价格被定义为在其BS价格上加上对冲随机波动率的成本(或微笑成本,图片)作为修正, 图片分别代表了以图片对冲期权微笑成本的权重,即图片

其中图片为期权的BS价格(BS假设下图片), 图片为期权的市场价格。

可用外汇市场上成交最多的平价期权(ATM)、风险逆转组合(RR)和蝶式组合(BF)(一般为25D RR与25D BF)替代。之所以用RR和BF来做对冲组合,一是其在外汇期权市场上流动性较好,二是RR主要含Vanna风险而BF主要含Volga风险。

最简单的VV定价模型为

这里RR的Volga、BF的Vanna、以及Vega的对冲成本均被忽略了。

更一般的VV模型可写为

从定义上来说ATM期权的微笑成本为0。

SABR模型

VV方法只是经验法则,其随机性在数学上并不严格。由BS模型衍生出的许多著名随机波动率模型,通过将瞬时波动率视作另外的随机变量增加一个SDE,仍然将期权价格定义为风险中性期望。例如Heston模型,假设波动率为均值回归随机过程

其中Wt和Zt为两个相关的布朗运动,满足图片。图片决定了远期平价波动率的水平,图片决定了波动率曲线的倾斜度, 图片决定了波动率曲线的凸度。

SABR模型不是纯粹的期权定价模型,严格说只是随机波动率模型。它不直接给出期权价格,而是给出隐含波动率曲线。

总体而言,BS定价模型最为简易,其推导框架是其他期权模型的基础,但它假设的波动率为常数与市场情况相悖。许多模型被研究用来描述波动率微笑曲线。

VV模型能快速计算结果且易于使用,但仅是经验法则,数学上并不严格。它只需要同一期限波动率曲线上的3个已知点即可构建整条曲线,但外插部分误差较大。

随机波动率模型拟合度优于VV方法,但通常需要精细的校准过程以找到合适的参数来拟合市场,涉及大量数值计算,速度明显逊于VV方法,对流动性较好、成交价格多的市场更为适用。

目前国内银行间市场人民币对外汇期权仅有简单欧式期权,普遍采用BS模型进行定价。

VV模型和SABR模型更多地用于奇异期权。国际市场上,奇异期权的成交量占整个外汇期权市场的大部分。

和普通期权相比,奇异期权更为灵活,可大大降低买入方的成本,势必成为人民币期权市场未来的发展趋势,届时随机波动率定价模型将有更多的用武之地。

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